Me fjalë të tjera, problemi i 10 -të i Hilbert është i padiskutueshëm.
Matematikanët shpresuan të ndiqnin të njëjtën qasje për të provuar versionin e zgjatur, unaza të integruesve të problemit-por ata goditën një pengesë.
GUMMING UP PUNS
Korrespondenca e dobishme midis makinave Turing dhe ekuacioneve diofantine bie larg kur ekuacionet lejohen të kenë zgjidhje jo më të këndshme. Për shembull, merrni parasysh përsëri ekuacionin y = x2. Nëse jeni duke punuar në një unazë të numrave të plotë që përfshin √2, atëherë do të përfundoni me disa zgjidhje të reja, siç janë x = √2, y = 2. Ekuacioni nuk korrespondon më me një makinë Turing që llogarit sheshe të përsosura – dhe, në përgjithësi, ekuacionet diofantine nuk mund të kodojnë më problemin e ndalimit.
Por në 1988, një student i diplomuar në Universitetin e Nju Jorkut me emrin Sasha shlapentokh Filloi të luajë me ide se si ta kapërcejmë këtë problem. Deri në vitin 2000, ajo dhe të tjerët kishin formuluar një plan. Thuaj se do të shtosh një bandë termash shtesë në një ekuacion si y = x2 ai i detyruar magjikisht x Për të qenë përsëri një numër i plotë, edhe në një sistem të numrave të ndryshëm. Atëherë ju mund të shpëtoni korrespodencën me një makinë Turing. A mund të bëhet e njëjta gjë për të gjitha ekuacionet diofantine? Nëse po, do të nënkuptonte që problemi i Hilbert mund të kodifikojë problemin e ndalimit në sistemin e ri të numrave.
Ilustrimi: Myriam mallra për Sa revistë
Me kalimin e viteve, Shlapentokh dhe matematikanët e tjerë kuptuan se cilat terma duhej të shtonin në ekuacionet diofantine për lloje të ndryshme të unazave, të cilat i lejuan ata të demonstrojnë se problemi i Hilbert ishte akoma i padiskutueshëm në ato ambiente. Ata pastaj zienin të gjitha unazat e mbetura të numrave të plotë për një rast: unaza që përfshijnë numrin imagjinar Unë. Matematikanët kuptuan se në këtë rast, termat që do të duhet të shtojnë mund të përcaktohen duke përdorur një ekuacion të veçantë të quajtur një kurbë eliptike.
Por kurba eliptike do të duhet të plotësojë dy prona. Së pari, do të duhet të ketë pafundësisht shumë zgjidhje. Së dyti, nëse keni kaluar në një unazë të ndryshme të numrave të plotë – nëse do të hiqnit numrin imagjinar nga sistemi juaj i numrave – atëherë të gjitha zgjidhjet për kurbën eliptike do të duhet të ruanin të njëjtën strukturë themelore.
Siç doli, ndërtimi i një kurbë të tillë eliptike që funksiononte për çdo unazë të mbetur ishte një detyrë jashtëzakonisht delikate dhe e vështirë. Por Koymans dhe Pagano – ekspertë në kthesat eliptike që kishin punuar ngushtë së bashku që kur ishin në shkollë pasuniversitare – kishin vetëm mjetin e duhur për të provuar.
Netët pa gjumë
Që nga koha e tij si universitare, Koymans kishte menduar për problemin e 10 -të të Hilbert. Gjatë gjithë shkollës pasuniversitare, dhe gjatë gjithë bashkëpunimit të tij me Pagano, ai bëri thirrje. “Kam kaluar disa ditë çdo vit duke menduar për të dhe duke u mbërthyer tmerrësisht,” tha Koymans. “Unë do të provoja tre gjëra dhe të gjithë do të hidheshin në erë në fytyrën time.”
Në vitin 2022, ndërsa ishte në një konferencë në Banff, Kanada, ai dhe Pagano përfunduan duke biseduar për problemin. Ata shpresuan që së bashku, ata mund të ndërtonin kurbën speciale eliptike të nevojshme për të zgjidhur problemin. Pas mbarimit të disa projekteve të tjera, ata u nisën për të punuar.
